La conocida como «regla de tres» consiste en un procedimiento de resolución de los problemas propios de proporcionalidad de magnitudes, siendo el primer tema de la matemática aplicada a la física y aludiendo a dos teorías puramente intuitivas: la proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa.

• La proporcionalidad directa se dice consiste en que cuando una magnitud aumenta la otra también lo hace.

• La proporcionalidad inversa se dice consiste en que cuando una magnitud aumenta al otra disminuye y viceversa.

Es considerable la bibliografía que utiliza el título de «proporcionalidad de magnitudes», pero todas caen en la problemática de la aritmetización, es decir, cómo tratar las magnitudes físicas en las operaciones algebraicas, lo que se pretende solucionar con la eliminación automática de las magnitudes como si éstas no aportaran nada más que un sentido físico al número, obviando el hecho de que dichas magnitudes pueden ser dismétricas.

El método propuesto se basa en una auténtica proporcionalidad de magnitudes.

Aunque en las próximas líneas se explican algunos ejemplos propios de la regla de tres directa e inversa, o proporcionalidad de magnitudes directa e inversa, recomiendo la lectura previa del trabajo original a fin de comprender el razonamiento lógico y las demostraciones realizadas, pues la ciencia se basa en la demostración genérica para cualquier caso particular. En dicho artículo que justifican y demuestran los siguientes puntos:

• Una díada se compone de un elemento numérico y otro dimensional, por ejemplo, 2 personas.

• Un elemento dimensional entre sí mismo es igual a un número abstracto, es decir, queda en una mera operación aritmética.

• La simbología utilizada para el álgebra de magnitudes es diferente a la tradicional de la aritmética para saber distinguir ambos tipos de álgebra.

• Las dos teorías de las que se parte de proporcionalidad directa e inversa o regla de tres directa e inversa quedan corregidas con la relación homogénea y heterogénea entre díadas.

• Para entender las representaciones geométricas se recomienda la consulta del artículo donde se muestran varias figuras explicativas.

Limitarse a leer estos problemas de «regla de tres» compuesta directa e inversa le permitirá en el mejor de los casos a comprender estos problemas, pero no la generalidad de cualquiera planteado con proporcionalidad de magnitudes directa e inversa.

La didáctica que se considera correcta de la regla de tres o proporcionalidad de magnitudes directa e inversa es la explicada en «Método didáctico avanzado para superar la arcaica “regla de tres” clásica, perfeccionada con la proporcionalidad de magnitudes».

Salimos de excursión con el colegio y tenemos que preparar los bocadillos para toda la clase. Si para mis 4 hermanos gastamos 2 barras de pan, ¿cuántas barras de pan necesitaremos para hacer los bocadillos de los 24 alumnos que hay en clase?

Éste es un problema típico de «regla de tres simple directa» o «proporcionalidad directa».

Observamos las siguientes magnitudes: personas que comerán bocadillo y barras de pan. Cada una de estas magnitudes se constituyen geométricamente como dos segmentos de igual o distinta magnitud.

El número abstracto indica cuántas veces se repetirán consecutivamente cada uno de esos segmentos formando otro mayor. Así, el segmento hermano que es lo mismo que persona se repetirá 4 veces, y el segmento barra de pan se repetirá 2 veces.

Con ello, con los recursos 2 barras de pan se consigue el resultado de alimentar a 4 personas que son mis hermanos, por lo que geométricamente:

2 barras de pan = 4 personas

Conforme a la pregunta, manteniendo la  proporción de magnitudes se nos pide conocer cuántas barras de pan necesitamos para alimentar a otras 24 personas, que son los alumnos de la clase, por lo que el planteamiento es igual:

X barras de pan = 24 personas

Dividiendo miembro a miembro ambos lados de las igualdades:

2 barras de pan // X barras de pan= 4 personas // 24 personas

Puesto que en numerador y denominador tenemos la misma magnitud queda la igualdad en una mera operación aritmética. Esta propiedad puede estudiarse en el artículo «Método didáctico avanzado para superar la arcaica “regla de tres” clásica, perfeccionada con la proporcionalidad de magnitudes»:

2/X=4/24

Operando, obtenemos que X=12

El mes pasado, 3 jardineros tardaron 12 horas en arreglar los jardines de nuestra urbanización. Este mes, el presupuesto es mayor y hemos contratado a 6 jardineros. ¿Cuánto tiempo tardarán esta vez?

Éste es un problema típico de «regla de tres compuesta inversa» o «proporcionalidad inversa».

En primer lugar, en este problema observamos dos magnitudes con claridad: jardinero y horas de trabajo. Nuevamente, cada una de estas dos magnitudes son geométricamente un segmento de igual o distinta magnitud. En el punto de partida o «supuesto» observamos una primera díada, «3 jardineros» que son tres adiciones del segmento jardinero, y una segunda díada, «12 horas», es decir, 12 veces el segmento hora.

Además, se observa una tercera magnitud que es el resultado del trabajo de los 3 jardineros durante 12 horas. Este resultado es «arreglar los jardines de nuestra urbanización». Es decir, tenemos dos días heterogéneas (horas y jardineros) cuya combinación o multiplicación geométrica dan lugar a una tercera: los jardines arreglados. Para simplificar, denominaremos a esta magnitud arreglo jardines. Ello supone que con ese trabajo se obtiene el resultado:

Trabajo=Resultado

Así, geométricamente tendremos una multiplicación entre los dos segmentos resultantes de las díadas 3 trabajadores y 12 horas, que dan lugar al resultado representado geométricamente como un área cuyos lados son las dos días anteriores:

3 trabajadores * 12 horas = arreglo jardines

Respecto a la pregunta planteada, tendremos:

6 jardineros * X horas = arreglo jardines

Dividiendo miembro a miembro las dos igualdades tendremos:

(3 trabajadores * 12 horas) // (6 jardineros * X horas) = arreglo jardines // arreglo jardines

Puesto que en numerador y denominador tenemos la misma magnitud queda la igualdad en una mera operación aritmética. Esta propiedad puede estudiarse en el artículo «Método didáctico avanzado para superar la arcaica “regla de tres” clásica, perfeccionada con la proporcionalidad de magnitudes»:

(3·12)/(6·X)=1

Lo que, operando, se obtiene que X=6

Una calle de 25 metros de largo y 4 de ancho ha sido pavimentada por 16.000 adoquines. ¿Cuántos adoquines se necesitarán para una plaza de 15 metros de largo por 10 de ancho?

Éste es un problema comúnmente conocido como «regla de tres compuesta» con proporcionalidad directa e inversa.

Se observan tres díadas con las siguientes magnitudes: metro (de largo), metro (de ancho) y adoquines. Las díadas dadas son heterogéneas entre sí, por lo que geométricamente se puede construir un rectángulo abstracto cuyo área queda determinado por el número de adoquines necesarios (resultado del trabajo), mientras que los lados son los metros que miden el largo por un lado y el ancho por otro (trabajo necesario). De esta forma, la expresión geométrica analítica del «supuesto» es:

16.000 adoquines = 25 metros * 4 metros

Respecto a la «pregunta»:

X adoquines = 15 metros * 10 metros

Dividiendo miembro a miembro ambos lados de las igualdades:

16.000 adoquines // X adoquines = (25 metros * 4 metros) // (15 metros * 10 metros)

Como se demuestra en el estudio «Método didáctico avanzado para superar la arcaica “regla de tres” clásica, perfeccionada con la proporcionalidad de magnitudes», una magnitud entre sí misma se anulan, quedando en una mera operación aritmética:

16.000/X= (25·4)/(15·10)

Resolviendo la ecuación, se concluye que X=24.000

Un camping de 400 alumnos tiene provisiones para 10 días repartiendo 3 raciones al día por alumno. Si se redujera el aprovisionamiento a 2 raciones diarias, ¿cuánto tiempo durarían las provisiones?

Éste es un problema comúnmente conocido como «regla de tres compuesta» con proporcionalidad directa e inversa.

Observamos la existencia de los siguientes elementos dimensionales: alumnos, días y número de raciones al día. El número de alumnos se constituye como un multiplicador del número de raciones diarias siendo díadas homogéneas. Sin embargo, el número de raciones al día tiene una relación heterogénea con las provisiones.

Conforme a la Primera álgebra de magnitudes se puede construir un rectángulo geométrico cuyos lados quedan definidos por las magnitudes raciones al día y tiempo de aprovisionamiento, siendo el área del mismo el total de raciones necesarias.

El número de alumnos es una adición que se realiza sobre el número de raciones, siendo un multiplicador abstracto. Sin embargo, como no varía en ninguna de las dos expresiones, no es necesario incluirla.

Con ello, las raciones totales se constituye como el resultado obtenido a partir del «trabajo necesario» o, más específicamente en este caso, los recursos necesarios, lo que geométricamente sería el rectángulo resultante de multiplicar ración diaria por días. Ración diaria es un segmento de determinada longitud y días es otro segmento de igual o distinta longitud. Ambos segmentos se adicionan independientemente tantas veces como indiquen sus respectivos números abstractos.

De esta forma, la expresión analítica del «supuesto» es:

400 raciones totales = 3 raciones diarias * 10 días

Igualmente la expresión de la «pregunta» es:

400 raciones totales = 2 raciones diarias * X días

Dividiendo miembro a miembro las dos igualdades obtendremos:

400 raciones totales // 400 raciones totales = (3 raciones * 10 días) // (2 raciones * X días)

Como se demuestra en el estudio «Método didáctico avanzado para superar la arcaica “regla de tres” clásica, perfeccionada con la proporcionalidad de magnitudes», una magnitud entre sí misma se anulan, quedando en una mera operación aritmética:

400/400 = (2·10)/(2·X)

Lo que operando, se obtiene que X=15

Dos albañiles han cobrado en total 3.000 euros por un trabajo. El primero de ellos se lleva 2.000 euros habiendo trabajado 12 días, 8 horas al día. Si el segundo ha trabajado 6 horas al día, ¿cuántos días ha trabajado?

Éste es un problema comúnmente conocido como «regla de tres compuesta» con proporcionalidad directa e inversa.

Las díadas de este problema tienen los siguientes elementos dimensionales: euros, días y horas al día. Se observa que la relación entre las díadas es heterogénea, pudiendo geométricamente construir un rectángulo cuya área quede definida por el total de lo que cobra cada albañil, siendo los lados los días trabajados y las horas al día.

Con ello, la expresión geométrica en el caso del primer albañil, que constituye el «supuesto», es:

2.000 euros = 12 días * 8 horas

Para el caso del segundo obrero que constituye la «pregunta» es igual:

1.000 euros = X días * 6 horas

Dividiendo miembro a miembro ambas igualdades:

2.000 euros // 1.000 euros = (12 días * 8 horas) // (X días * 6 horas)

Dado que en numerador y denominador se tienen las mismas magnitudes:

2.000/ 1.000= (12·8)/(X·6)

Despejando la incógnita se obtiene que X=8